Е (функции Е). Е (функции Е) Возвращает значение истина, если
Экспоненту обозначают так ,
или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e
. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е
≈ 2,718281828459045...
Число e
определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел
:
.
Также число e
можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
График экспоненты, y = e x .На графике представлена экспонента, е
в степени х
.
y(x)
= е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
;
;
;
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a
через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y(x)
= e x
.
Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y(x)
= e x
определена для всех x
.
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞
.
Ее множество значений:
0
< y < + ∞
.
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
Обратная функция
Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.
Производная экспоненты
Производная е
в степени х
равна е
в степени х
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера
:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
;
;
.
Выражения через тригонометрические функции
;
;
;
.
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.
Число $e$
Определение 1
Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.
Определение 2
Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.
Замечание 1
Последней формулой описывается второй замечательный предел .
Число е также носит название числа Эйлера , а иногда и числа Непера .
Замечание 2
Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой» . Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.
Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln a$.
Натуральный логарифм
Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.
Определение 4
Логарифм с основанием $е$ называют натуральным .
Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln a$.
Свойства натурального логарифма
Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:
Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:
Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:
$\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$.
Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Пример 1
Упростить выражение $\frac{2 \ln 4e-\ln 16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}$.
Решение .
Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
$\frac{2 \ln 4e-\ln16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}=\frac{2(\ln 4+\ln e)-\ln 4^2}{\ln 5+\ln e-\frac{1}{2} \ln 5^2}=$
откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln e=1$:
$=\frac{2 \ln 4+2-2 \ln 4}{\ln 5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln 5}=\frac{2}{\ln 5+1-\ln 5}=2$.
Ответ : $\frac{2 \ln 4e-\ln 16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}=2$.
Пример 2
Найти значение выражения $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}$.
Решение .
Применим формулу суммы логарифмов:
$\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln e=1$.
Ответ : $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1$.
Пример 3
Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg 0,1+3 \ln e^5$.
Решение .
Применим свойство логарифма степени:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+15=13$.
Ответ : $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Пример 4
Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln 3=$
применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Ответ : $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27=-6$.
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
НАПРИМЕР у=5+х
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз.гипербола)
2. у=х^2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= {n!}}}} (это следует из формулы Муавра - Стирлинга).
Свойства
Доказательство иррациональности |
---|
Предположим, что
e
{\displaystyle e}
рационально. Тогда
e
=
p
/
q
{\displaystyle e=p/q}
, где
p
{\displaystyle p}
- целое, а
q
{\displaystyle q}
- натуральное.
Следовательно p = e q {\displaystyle p=eq}Умножая обе части уравнения на (q − 1) ! {\displaystyle (q-1)!} , получаем p (q − 1) ! = e q ! = q ! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n ! = ∑ n = 0 q q ! n ! + {\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}}Переносим ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} в левую часть: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = p (q − 1) ! − ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части - целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1. С другой стороны, ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . . . (q + m) < ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}Поскольку q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} , ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}Получаем противоречие. |
- Число e {\displaystyle e} трансцендентно . Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом . Трансцендентность числа e {\displaystyle e} следует из теоремы Линдемана .
- Предполагается, что e {\displaystyle e} - нормальное число , то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
- Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
- e i x = cos (x) + i ⋅ sin (x) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)} , см. формула Эйлера , в частности
- Формула, связывающая числа e {\displaystyle e} и π {\displaystyle \pi } , т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
- Для любого комплексного числа z верны следующие равенства: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}
- Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в ): e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] {\displaystyle e=} , то есть e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
- Или эквивалентным ему: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}}
- Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … {\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}}
- e = lim n → ∞ n n ! n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}
- Представление Каталана : e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ {\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }
- Представление через произведение : e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k {\displaystyle e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}}
- Через числа Белла
E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! {\displaystyle e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера , автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x {\displaystyle x} был равен 10 7 ⋅ log 1 / e (x 10 7) {\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)} .
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году . Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода . Он обнаружил, что если исходная сумма $ 1 {\displaystyle \$1} и начисляется годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $ 2 {\displaystyle \$2} . Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $ 1 {\displaystyle \$1} умножается на 1 , 5 {\displaystyle 1{,}5} дважды, получая $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 {\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25} . Начисления процентов раз в квартал приводит к $ 1 , 00 ⋅ 1 , 25 4 = $ 2,441 40625 {\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625} , и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел : lim n → ∞ (1 + 1 n) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} и этот предел равен числу e (≈ 2,718 28) {\displaystyle e~(\approx 2{,}71828)} .
$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613 035... {\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...}
$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 365) 365 = $ 2,714 568... {\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714568...}
Таким образом, константа e {\displaystyle e} означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % {\displaystyle 100\%} годовых и максимальной частоте капитализации процентов .
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b {\displaystyle b} , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу , -1691 годы .
Букву e {\displaystyle e} начал использовать Эйлер в 1727 году , впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года , а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год . Соответственно, e {\displaystyle e} обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c {\displaystyle c} , буква e {\displaystyle e} применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.