Пусть есть 2 функции:

: A→B и g: D→F

Пусть область определения D функции g входит в область значений функции f (DB). Тогда можно определить новую функцию – суперпозицию (композицию, сложную функцию) функций f и g: z = g ( (x )).

Примеры. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R.

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Определение

Пусть идве функции. Тогда их композицией называется функция, определённая равенством:

Свойства композиции

Композиция ассоциативна:

Если F = id X - тождественное отображение на X , то есть

.

Если G = id Y - тождественное отображение на Y , то есть

.

Дополнительные свойства

Счетные и несчетные множества.

Два конечных множества состоят из равного числа элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов конечного множества – мощность множества.

Для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его частью.

Самым простым из бесконечных множеств является множество N.

Определение. Множества А и В называются эквивалентными (АВ), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов.

Если же эквивалентные между собой множества А и В произвольны, то говорят, что А и В имеют одинаковую мощность . (мощность = эквивалентность).

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества.

Определение. Множество называется счетным , если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. (Т.е. счетное множество – бесконечное, эквивалентное множеству N).

(Т.е. все элементы счетного множества можно занумеровать).

Свойства отношения равномощности.

1) АА- рефлексивность.

2) АВ, то ВА – симметричность.

3) АВ и ВС, то АС – транзитивность.

Примеры.

1) n→2n, 2,4,6,… - четные натуральные

2) n→2n-1, 1,3,5,…- нечетные натуральные.

Свойства счетных множеств .

1. Бесконечные подмножества счетного множества счетны.

Доказательство . Т.к. А – счетно, то А: х 1 ,х 2 ,… - отобразили А в N.

ВА, В: →1,→2,… - поставили каждому элементу В в соответствиенатуральное число, т.е. отобразили В в N. Следовательно В – счетно. Ч.т.д.

2. Объединение конечной (счетной) системы счетных множеств – счетно.

Примеры .

1. Множество целых чисел Z – счетно, т.к. множество Z можно представить как объединение счетных множеств А и В, где А: 0,1,2,.. и В: -1,-2,-3,…

2. Множество упорядоченных пар {(m,n): m,nZ} (т.е. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Множество рациональных чисел – счетно.

Q=. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством несократимых дробейQ и множеством упорядоченных пар:

Т.о. множество Q равномощно множеству {(p,q)}{(m,n)}.

Множество {(m,n)} – множество всех упорядоченных пар – счетно. Следовательно и множество {(p,q)} – счетно, а значит и Q – счетно.

Определение. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная десятичная непериодическая дробь, т.е.  0 , 1  2 …

Множество всех десятичных дробей образуют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество иррациональных чисел – несчетно.

Теорема 1 . Множество вещественных чисел из промежутка (0,1) – несчетное множество.

Доказательство . Допустим противное, т.е. что все числа интервала (0,1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бесконечных десятичных дробей, получим последовательность:

х 1 =0,а 11 а 12 …a 1n …

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Рассмотрим теперь вещественное число х=0,b 1 b 2 …b n …, где b 1 - любая цифра, отличная от а 11 , (0 и 9), b 2 - любая цифра, отличная от а 22 , (0 и 9),…, b n - любая цифра, отличная от a nn , (0 и 9).

Т.о. х(0,1), но хx i (i=1,…,n) т.к. в противном случае, b i =a ii . Пришли к противоречию. Ч.т.д.

Теорема 2. Любой промежуток вещественной оси является несчетным множеством.

Теорема 3. Множество действительных (вещественных) чисел – несчетно.

Про всякое множество, равномощное множеству вещественных чисел говорят, что оно мощности континуума (лат. continuum – непрерывное, сплошное).

Пример . Покажем, что интервал обладает мощностью континуума.

Функция у=tg x: →R отображает интервал на всю числовую прямую (график).

Суперпозиция функций

Суперпозицией функций f1, …, fm называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных.

Пусть имеются два отображения и, причем непустое множество. Тогда супер позицией или композицией функций и называется функция, определенная равенством для всякого.

Областью определения суперпозиции является множество.

Функция называется внешней, а -внутренней функцией для суперпозиции.

Функции, представленные в виде композиции "более простых", называются сложными функциями.

Примерами использования суперпозиции являются: решение системы уравнений методом подстановки; нахождение производной от функции; нахождение значения алгебраического выражения с помощью подстановки в него значения заданных переменных.

Рекурсивные функции

Рекурсией называется такой способ задания функции, при котором значения определяемой функции для произвольных значений аргументов выражаются известным образом через значения определяемой функции для меньших значений аргументов.

Примитивно рекурсивная функция

Определение понятия примитивно рекурсивной функции является индуктивным. Оно состоит из указания класса базовых примитивно рекурсивных функций и двух операторов (суперпозиции и примитивной рекурсии), позволяющих строить новые примитивно рекурсивные функции на основе уже имеющихся.

К числу базовых примитивно рекурсивных функций относятся функции следующих трёх видов:

Нулевая функция-- функция без аргументов, всегда возвращающая0 .

Функция следованияодного переменного, сопоставляющая любому натуральному числунепосредственно следующее за ним натуральное число.

Функции, где, от n переменных, сопоставляющие любому упорядоченному набору натуральных чисел число из этого набора.

Операторы подстановки и примитивной рекурсии определяются следующим образом:

Оператор суперпозиции (иногда--оператор подстановки). Пусть -- функция от m переменных, а -- упорядоченный набор функций отпеременных каждая. Тогда результатом суперпозиции функцийв функцию называется функцияотпеременных, сопоставляющая любому упорядоченному набору натуральных чисел число.

Оператор примитивной рекурсии. Пусть -- функция от n переменных, а -- функция от переменных. Тогда результатом применения оператора примитивной рекурсии к паре функций и называется функция от переменной вида;

В данном определении переменнуюможно понимать как счётчик итераций, -- как исходную функцию в начале итерационного процесса, выдающего некую последовательность функцийпеременных, начинающуюся с, и -- как оператор, принимающий на входпеременных, номер шага итерации, функцию на данном шаге итерации, и возвращающий функцию на следующем шаге итерации.

Множество примитивно рекурсивных функций -- это минимальное множество, содержащее все базовые функции и замкнутое относительно указанных операторов подстановки и примитивной рекурсии.

В терминах императивного программирования -- примитивно рекурсивные функции соответствуют программным блокам, в которых используется только арифметические операции, а также условный оператор и оператор арифметического цикла (оператор цикла, в котором число итераций известно на момент начала цикла). Если же программист начинает использовать оператор цикла while, в котором число итераций заранее неизвестно и, в принципе, может быть бесконечным, то он переходит в класс частично рекурсивных функций.

Укажем на ряд широко известных арифметических функций, являющихся примитивно рекурсивными.

Функция сложения двух натуральных чисел () может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям и, вторая из которых получается подстановкой основной функции в основную функцию:

Умножение двух натуральных чисел может быть рассмотрено в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям и, вторая из которых получается подстановкой основных функций и в функцию сложения:

Симметрическая разность(абсолютная величина разности) двух натуральных чисел () может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения следующих подстановок и примитивных рекурсий:

Тема: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций.»

Эпиграф урока:

«Изучать что-либо и не задумываться над

выученным - абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

Конфуций.

Цель и психолого-педагогические задачи урока :

1) Общеобразовательная (нормативная) цель : повторить со студентами определение и свойства функции. Ввести понятие суперпозиции функций.

2) Задачи математического развития студентов : на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности студентов; продолжить развитие культуры письменной и устной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.

3) Воспитательные задачи : продолжить личностное воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с группой, преподавателем, согруппниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности , стремления к высоким и высшим ее результатам (акмеический мотив).

Тип урока : изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

1) Кудрявцев математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил.

2) Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

2. Иллюстрации.

Ход урока .

1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии .

2.Повторение материала по вопросам.

a) Дать определение функции.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества и . Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается y = f(x). Говорят еще, что функция f отображает множество на множество .

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

б) Числовые функции. График функции. Способы задания функций.

Пусть задана функция .

Если элементами множеств и являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией . Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной (от x). Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ : функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ : задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ : функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

в) Основные характеристики функции.

1. Функция y = f(x),определенная на множестве D, называется четной , если выполняются условия и f(-x) = f(x); нечетной , если выполняются условия и f(-x) = -f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат. Например, – четные функции; а y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2.Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">то функция наз. убывающей на ; - невозрастающей .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D значение (x+T)D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a.

г) Обратная функция.

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E..gif" width="48" height="22">, то определена функция x = z(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция z(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: . Про функции y = f(x) и x = z(y) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию x = z(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x.

Примеры :

1. Для функции y = 2x обратной функцией является функция x = ½ y;

2. Для функции обратной функцией является функция .

Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную . При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

3. Изучение нового материала.

Сложная функция.

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции ).

Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sinu и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Решение нескольких примеров у доски.

5. Заключение урока.

1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла.

- (позднелат. superpositio, – наложение, от лат. superpositus – положенный наверх) (композиция) – операция логико математич. исчислений, заключающаяся в получении из к. л. данных функций f и g данного исчисления новой функции g (f) (выражение g… … Философская энциклопедия

Термин суперпозиция (наложение) может относиться к следующим понятиям: Суперпозиция композиция функций (сложная функция) Принцип суперпозиции принцип в физике и математике, описывающий наложение процессов (например, волн) и, как следствие,… … Википедия

Композиция функций, составление из двух функций сложной функции … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Суперпозиция. Квантовая механика … Википедия

В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия

В теории дискретных функциональных систем булевой функцией называют функцию типа, где булево множество, а n неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы 1 (единица) и 0 (ноль) стандартно интерпретируют… … Википедия

Один из важнейших для оснований математики и математич. логики классов понятий, служащих уточнениями содержат. понятий эффективно вычислимой арифметической функции и эффективно разрешимого арифметического предиката, а в конечном счете, – и… … Философская энциклопедия

Функция, вычисление значений к рой может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной процедуры, или алгоритма. Характерная черта вычислительных процессов вычисление искомых величин задач происходит последовательно из данных исходных… … Математическая энциклопедия

Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Дифференцирование сложной функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{к объединению}} … Википедия

- (лат. compositio составление, связывание, сложение, соединение): В Викисловаре есть статья «композиция» Искусство Композиция (изобразительное искусство) организующий компонент художественной формы, придающий прои … Википедия

Книги

• Дискретная математика. Основные теоретико-множественные конструкции. Часть VI , А. И. Широков. Пособие представляет собой VI часть раздела «Основные теоретикомножественные конструкции дискретной математики». В гл. XI рассматриваются следующие понятия: композиции функций (§1); функции,…

Пусть имеется функция f(x 1 , x 2 , ... , x n) и функции

тогда функцию будем называть суперпозицией функции f(x 1 , x 2 , ... , x n) и функций .

Другими словами: пусть F = { f j } - набор функций алгебры логики, не обязательно конечный. Функция f называется суперпозицией функций из множества F или функцией над F, если она получена из функции путем замены одной или нескольких ее переменных функциями из множества F.

Пример .

Пусть задано множество функций

F = {f 1 (x 1), f 2 (x 1 ,x 2 ,x 3), f 3 (x 1 ,x 2)}.

Тогда суперпозициями функций из F будут, например, функции:

j 1 (x 2 , x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));

j 2 (x 1 , x 2) = f 2 (x 1 , f 1 (x 1), f 3 (x 1 ,x 2)).

Cовершенная ДНФ - суперпозиция функций из множества

. ð

Определение.

Система функций называется полной , если при помощи операций суперпозиции и замены переменных из функций этой системы может быть получена любая функция алгебры логики. ð

Мы уже имеем некоторый набор полных систем:

;

Так как ;

Так как ;

{x+y, xy, 1}. ð

Как же определить условия, при которых система полна. С понятием полноты тесно связано понятие замкнутого класса.

Замкнутые классы.

Множество (класс) K функций алгебры логики называется замкнутым классом , если оно содержит все функции, получающиеся из K операциями суперпозиции и замены переменных, и не содержит никаких других функций.

Пусть K - некоторое подмножество функций из P 2 . Замыканием K называется множество всех булевых функций, представимых с помощью операций суперпозиции и замены переменных функций из множества K. Замыкание множества K обозначается через [K].

В терминах замыкания можно дать другие определения замкнутости и полноты (эквивалентные исходным):

K- замкнутый класс, если K = [K];

K - полная система, если [K] = Р 2 .

Примеры.

* {0}, {1} - замкнутые классы.

* Множество функции одной переменной - замкнутый класс.

* - замкнутый класс.

* Класс {1, x+y} не является замкнутым классом.

Рассмотрим некоторые важнейшие замкнутые классы.

1. Т 0 - класс функций, сохраняющих 0.

Обозначим через Т 0 класс всех функций алгебры логики f(x 1 , x 2 , ... , x n), сохраняющих константу 0, то есть функций, для которых f(0, ... , 0) = 0.

Легко видеть, что есть функции, принадлежащие Т 0 , и функции, этому классу не принадлежащие:

0, x, xy, xÚy, x+y Î T 0 ;

Из того, что Ï T 0 следует, например, что нельзя выразить через дизъюнкцию и конъюнкцию.

Поскольку таблица для функции f из класса Т 0 в первой строке содержит значение 0, то для функций из Т 0 можно задавать произвольные значения только на 2 n - 1 наборе значений переменных, то есть

,

где - множество функций, сохраняющих 0 и зависящих от n переменных.

Покажем, что Т 0 - замкнутый класс. Так как xÎT 0 , то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.

Пусть . Тогда достаточно показать, что . Последнее вытекает из цепочки равенств

2. T 1 - класс функций, сохраняющих 1.

Обозначим через Т 1 класс всех функций алгебры логики f(x 1 , x 2 , ... , x n), сохраняющих константу 1, то есть функций, для которых f(1, ... , 1) = 1.

Легко видеть, что есть функции, принадлежащие Т 1 , и функции, этому классу не принадлежащие:

1, x, xy, xÚy, xºy Î T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Из того, что x + y Ï T 0 следует, например, что x + y нельзя выразить через дизъюнкцию и конъюнкцию.

Результаты о классе Т 0 тривиально переносятся на класс Т 1 . Таким образом, имеем:

Т 1 - замкнутый класс;

.

3. L - класс линейных функций.

Обозначим через L класс всех функций алгебры логики f(x 1 , x 2 , ... , x n), являющихся линейными:

Легко видеть, что есть функции, принадлежащие L , и функции, этому классу не принадлежащие:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 Î L;

Докажем, например, что xÚy Ï L .

Предположим противное. Будем искать выражение для xÚy в виде линейной функции с неопределенными коэффициентами:

При x = y = 0 имеем a=0,

при x = 1, y = 0 имеем b = 1,

при x = 0, y = 1 имеем g = 1,

но тогда при x = 1, y = 1 имеем 1Ú 1 ¹ 1 + 1, что доказывает нелинейность функции xÚy.

Доказательство замкнутости класса линейных функций совершенно очевидно.

Поскольку линейная функция однозначно определяется заданием значений n+1 коэффициента a 0 , ... , a n , число линейных функций в классе L (n) функций, зависящих от n переменных равно 2 n+1 .

.

4. S - класс самодвойственных функций.

Определение класса самодвойственных функций основано на использовании так называемого принципа двойственности и двойственных функций.

Функция , определяемая равенством , называется двойственной к функции .

Очевидно, что таблица для двойственной функции (при стандартной упорядоченности наборов значений переменных) получается из таблицы для исходной функции инвертированием (то есть заменой 0 на 1 и 1 на 0) столбца значений функции и его переворачиванием.

Легко видеть, что

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Из определения вытекает, что (f*)* = f, то есть функция f является двойственной к f*.

Пусть функция выражена с помощью суперпозиции через другие функции. Спрашивается, как построить формулу, реализующую ? Обозначим через = (x 1 , ... , x n) все различные символы переменных, встречающиеся в наборах .

Теорема 2.6. Если функция j получена как суперпозиция функций f, f 1 , f 2 , ... , f m , то есть

функция, двойственная к суперпозиции, есть суперпозиция двойственных функций.

Доказательство .

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

Теорема доказана. ð

Из теоремы вытекает принцип двойственности: если формула А реализует функцию f(x 1 , ... , x n), то формула, полученная из А заменой входящих в нее функций на двойственные им, реализует двойственную функцию f*(x 1 , ... , x n).

Обозначим через S класс всех самодвойственных функций из P 2:

S = {f | f* = f }

Легко видеть, что есть функции, принадлежащие S, и функции, этому классу не принадлежащие:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Менее тривиальным примером самодвойственной функции является функция

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú yz;

используя теорему о функции, двойственной к суперпозиции, имеем

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h Î S.

Для самодвойственной функции имеет место тождество

так что на наборах и , которые мы будем называть противоположными, самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция полностью определяется своими значениями на первой половине строк стандартной таблицы. Поэтому число самодвойственных функций в классе S (n) функций, зависящих от n переменных, равно:

.

Докажем теперь, что класс S замкнут. Так как xÎS , то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x. Пусть . Тогда достаточно показать, что . Последнее устанавливается непосредственно:

5. М - класс монотонных функций.

Прежде чем определять понятие монотонной функции алгебры логики, необходимо ввести отношение упорядоченности на множестве наборов ее переменных.

Говорят, что набор предшествует набору (или “не больше ”, или “меньше или равен ”), и применяют обозначение , если a i £ b i для всех i = 1, ... , n. Если и , то будем говорить, что набор строго предшествует набору (или “строго меньше”, или “меньше” набора ), и использовать обозначение . Наборы и называются сравнимыми, если либо , либо .В случае, когда ни одно из этих соотношений не выполняется, наборы и называются несравнимыми. Например, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), но наборы (0, 1, 1, 0) и (1, 0, 1, 0) несравнимы. Тем самым отношение £ (его часто называют отношением предшествования) является частичным порядком на множестве В n . Ниже приведены диаграммы частично упорядоченных множеств В 2 , В 3 и В 4 .

Введенное отношение частичного порядка - исключительно важное понятие, далеко выходящее за рамки нашего курса.

Теперь мы имеем возможность определить понятие монотонной функции.

Функция алгебры логики называется монотонной , если для любых двух наборов и , таких, что , имеет место неравенство . Множество всех монотонных функций алгебры логики обозначаетcя через М, а множество всех монотонных функций, зависящих от n переменных - через М (n) .

Легко видеть, что есть функции, принадлежащие M , и функции, этому классу не принадлежащие:

0, 1, x, xy, xÚy Î M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Покажем, что класс монотонных функций М - замкнутый класс. Так как xÎМ, то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.

Пусть . Тогда достаточно показать, что .

Пусть - наборы переменных, соответственно, функций j, f 1 , ... , f m , причем множество переменных функции j состоит из тех и только тех переменных, которые встречаются у функций f 1 , ... , f m . Пусть и - два набора значений переменной , причем . Эти наборы определяют наборы значений переменных , такие, что . В силу монотонности функций f 1 , ... , f m

и в силу монотонности функции f

Отсюда получаем

Число монотонных функций, зависящих от n переменных, точно неизвестно. Легко может быть получена оценка снизу:

где - есть целая часть от n/2.

Так же просто получается слишком завышенная оценка сверху:

Уточнение этих оценок - важная и интересная задача современных исследований.

Критерий полноты

Теперь мы в состоянии сформулировать и доказать критерий полноты (теорему Поста), определяющий необходимые и достаточные условия полноты системы функций. Предварим формулировку и доказательство критерия полноты несколькими необходимыми леммами, имеющими и самостоятельный интерес.

Лемма 2.7. Лемма о несамодвойственной функции.

Если f(x 1 , ... , x n)Ï S , то из нее путем подстановки функций x и `x можно получить константу.

Доказательство . Так как fÏS, то найдется набор значений переменных
=(a 1 ,...,a n) такой, что

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

Заменим аргументы в функции f:

x i заменяется на ,

то есть положим , и рассмотрим функцию

Тем самым мы получили константу (правда, неизвестно, какая это константа: 0 или 1). ð

Лемма 2.8. Лемма о немонотонной функции.

Если функция f(x 1 ,...,x n) немонотонна, f(x 1 ,...,x n) Ï M, то из нее путем замены переменных и подстановки констант 0 и 1 можно получить отрицание.

Доказательство . Так как f(x 1 ,...,x n) Ï M, то найдутся наборы и значений ее переменных, , , такие что , причем хотя бы для одного значения i имеет место a i < b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i заменим на

После такой подстановки получим функцию одной переменной j(x), для которой имеем:

Это означает, что j(x)=`x. Лемма доказана. ð

Лемма 2.9. Лемма о нелинейной функции.

Если f(x 1 ,...,x n) Ï L , то из нее путем подстановки констант 0, 1 и использования функции `x можно получить функцию x 1 &x 2 .

Доказательство . Представим f в виде ДНФ (например, совершенной ДНФ) и воспользуемся соотношениями:

Пример . Приведем два примера применения указанных преобразований.

Таким образом, функция, записанная в дизъюнктивной нормальной форме, после применения указанных соотношений, раскрытия скобок и несложных алгебраических преобразований переходит в полином по mod 2 (полином Жегалкина):

где A 0 константа, а А i - конъюнкция некоторых переменных из числа x 1 ,..., x n , i = 1, 2, ... , r.

Если каждая конъюнкция A i состоит лишь из одной переменной, то f - линейная функция, что противоречит условию леммы.

Следовательно, в полиноме Жегалкина для функции f найдется член, в котором содержится не менее двух сомножителей. Без ограничения общности можно считать, что среди этих сомножителей присутствуют переменные x 1 и x 2 . Тогда полином можно преобразовать следующим образом:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3 ,..., x n),

где f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (в противном случае в полином не входит конъюнкция, содержащая конъюнкцию x 1 x 2).

Пусть (a 3 ,...,a n) таковы, что f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Тогда

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

где a, b, g - константы, равные 0 или 1.

Воспользуемся операцией отрицания, которая у нас имеется, и рассмотрим функцию y(x 1 ,x 2), получающуюся из j(x 1 ,x 2) следующим образом:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Очевидно, что

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2 .

Следовательно,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

Лемма доказана полностью.ð

Лемма 2.10. Основная лемма критерия полноты.

Если в классе F={ f } функций алгебры логики содержатся функции, не сохраняющие единицу, не сохраняющие 0, несамодвойственные и немонотонные:

то из функций этой системы операциями суперпозиции и замены переменных можно получить константы 0, 1 и функцию .

Доказательство . Рассмотрим функцию . Тогда

.

Возможны два случая последующих рассмотрений, в дальнейшем изложении обозначенные как 1) и 2).

1). Функция на единичном наборе принимает значение 0:

.

Заменим все переменные функции переменной x . Тогда функция

есть , ибо

и .

Возьмем несамодвойственную функцию . Так как функцию мы уже получили, то по лемме о несамодвойственной функции (лемма 2.7. ) из можно получить константу. Вторую константу можно получить из первой, используя функцию . Итак, в первом рассмотренном случае получены константы и отрицание. . Второй случай, а вместе с ним и основная лемма критерия полноты, полностью доказаны. ð

Теорема 2.11. Критерий полноты систем функций алгебры логики (теорема Поста).

Для того, чтобы система функций F = {f i }была полной, необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов T 0 , T 1 , L , S, M, то есть для каждого из классов T 0 , T 1 , L , S, Mв F найдется хотя бы одна функция, этому классу не принадлежащая.

Необходимость . Пусть F - полная система. Допустим, что F содержится в одном из указанных классов, обозначим его через K, т.е. F Í K. Последнее включение невозможно, так как K - замкнутый класс, не являющийся полной системой.

Достаточность . Пусть система функций F = {f i }целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов T 0 , T 1 , L , S, M. Возьмем в Fфункции:

Тогда на основанииосновной леммы (лемма 2.10 ) из функции не сохраняющей 0, функции не сохраняющей 1, несамодвойственной и немонотонной функций можно получить константы 0, 1 и функцию отрицание :

.

На основании леммы о нелинейной функции (лемма 2.9 ) из констант, отрицания и нелинейной функции можно получить конъюнкцию:

.

Система функций - полная система по теореме о возможности представления любой функции алгебры логики в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (заметим, что дизъюнкция может быть выражена через конъюнкцию и отрицание в виде ).

Теорема доказана полностью. ð

Примеры.

1. Покажем, что функция f(x,y) = x|y образует полную систему. Построим таблицу значений функции x½y:

x	y	x|y

f(0,0) = 1, следовательно, x | yÏT 0 .

f(1,1) = 0, следовательно, x | yÏT 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, следовательно, x | yÏM .

f(0,1) = f(1,0) = 1, - на противоположных наборах x | y принимает одинаковые значения, следовательно x | yÏS .

Наконец, , что означает нелинейность функции
x | y.

На основании критерия полноты можно утверждать, что f(x,y) = x | y образует полную систему. ð

2. Покажем, что система функций образует полную систему.

Действительно, .

Тем самым среди функций нашей системы найдены: функция, не сохраняющая 0, функция, не сохраняющая 1, несамодвойственная, немонотонная и нелинейная функции. На основании критерия полноты можно утверждать, что система функций образует полную систему.ð

Таким образом мы убедились, что критерий полноты дает конструктивный и эффективный способ выяснения полноты систем функций алгебры логики.

Сформулируем теперь три следствия из критерия полноты.

Следствие 1 . Всякий замкнутый класс Kфункций алгебры логики, не совпадающий со всем множеством функций алгебры логики (K¹P 2), содержится по крайней мере в одном из построенных замкнутых классов.

Определение. Замкнутый класс K называется предполным , если K неполный и для любой функции fÏ Kкласс K È {f}- полный.

Из определения следует, что предполный класс является замкнутым.

Следствие 2. В алгебре логики существует только пять предполных классов, а именно:T 0 ,T 1 , L , M , S .

Для доказательства следствия нужно проверить только то, что ни один из этих классов не содержится в другом, что подтверждается, например, следующей таблицей принадлежности функций различным классам:

	T 0	T 1	L	S	M
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
	-	-	+	+	-

Следствие 3. Из всякой полной системы функций можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

Из доказательства критерия полноты следует, что можно выделить не более пяти функций. Из доказательства основной леммы (лемма 2.10 ) следует, что либо несамодвойственна, либо не сохраняет единицу и не монотонна. Поэтому нужно не более четырех функций.